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By Bodo Pareigis

Die desktop Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den laptop erschlossen werden. Die desktop Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der computing device Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der desktop Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der machine Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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Daß der Winkelbegriff sinnvoll ist, ergibt sich auch aus der Gültigkeit des Satzes von Pythagoras. 8 S a t z des P y t h a g o r a s . Seien v,w £ V, einem euklidischen orthogonal zueinander. Dann gilt IHI 2 + I H I a = ll* + H I 2 Vektorraum, . B E W E I S : W i r berechnen unter Berücksichtigung von (v,w) = 0 einfach \\v + iu|| 2 = (v +w,v + w) = (v,v) +2(v,w) + (w,w) = ||v|| 4- \\w\\ . 2 2 • Aus den gegebenen Definitionen folgt nunmehr eine andere mögliche Definition des Skalarprodukts für den Fall, daß i m Vektorraum V der Begriff des Winkels zwischen Vektoren v und w und der Norm schon bekannt sind.

F(b ) linear unabhängig. U m zu zeigen, daß sie eine Basis für B i l d ( / ) bilden, sei f(v) mit v = Ylr=i @ n r rbr e * n behebiger Vektor in B i l d ( / ) . Dann gilt n n n = fC^ßrbr) = Y,ßrf{b ) = ^ ßrf(b ), r=l r=l r=jfe + l weil die Vektoren / ( b i ) = . . = f(bk) = 0 sind. Damit ist gezeigt, daß die Vektoren /(bfc+i),. , f(b ) eine Basis des Bildes B i l d ( / ) ist. Die Dimension des Bildes ist also dim(Bild(/)) = n — k = dim(V) — dim(Kern(/)), wie die Formel im Satz behauptet. 39 D e f i n i t i o n : D i e Dimension dim(Bild(/)) einer linearen Abbildung / heißt auch Rang der Abbildung u n d w i r d mit rg(/) bezeichnet.

M = b oder in Komponentenschreibweise an -21+ cti 'X + N 1 ... +a i • x m = ßi ... +a m = /3 m • x m n erfüllen. Eine solche Gleichung nennt man ein lineares n Gleichungssystem. W i r wissen schon, daß die Multiplikation von rechts mit einer Matrix M lineare Abbildung von K m nach K n eine ist. Daher können wir alle i m vorhergehen- den Kapitel erworbenen Kenntnisse auf lineare Gleichungssysteme anwenden. Bezeichnen wir wie im vorhergehenden Kapitel / = M , so ist = {x G K^lx-M = b}. Diese Menge heißt auch Losungsmenge des linearen Gleichungssystems.

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Analytische und projektive Geometrie für die Computer-Graphik by Bodo Pareigis


by Mark
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